对于无穷这一神秘观念，长期以来进展缓慢，虽然一直保持在数学家的视线之中，对其认知却很难深入。伽利略认为从根本上来说，无穷是我们无法理解的。而高斯认为无穷仅仅是一个说法而已，是无法当实体来用的。在这样的背景下，康托尔主张的就是一个实在的、具体的无穷概念，他认为有很多种不同规格的无穷。基于此，他创造的集合论成为拓扑学等很多现代学科的基础，现在看来，集合论在数学中的影响广泛而深刻，妥妥的数学大厦的基石。希尔伯特形容康托尔的工作为数学思想中最惊人的成果，纯智力领域中人类活动最完美的实现。这属实是极高的评价。康托尔的一位美国研究者约瑟夫·W·道本评价，康托尔是一个敢于尝试的人，从一个封闭的数学世界闯入一个奇异的复杂的、无限的数学世界。
整体大于部分？
众所周知，欧几里得几何记录很多著名的定义、公理和符号，这一成体系的经典数学书启发了又一代的数学家。并传达了一个普遍、多年没有受到质疑的观念：整体大于部分。19世纪70年代早期，一位年轻的德国天才数学家康托尔提出：对数和数论来说，整体不一定大于它的一部分。这一观念对数学界的震动可想而知，甚至很多人认为这是离经叛道的。
康托尔新成果、新观念的诞生，几乎不可避免地出现了诸多的反对者，其中最著名的要属克罗内克。克罗尼克，生于年的一个德国犹太家庭，受过良好的早期教育。至19世纪60年代，库默尔、威尔斯特拉斯、克罗内克成为德国数学界的三大巨头，年库默尔退休时，克罗内克称为柏林大学的教授。克罗内克在柏林学术界非常的活跃，他同时是几个协会的成员。年成为奥古斯特·利奥波德·克列尔出版的《纯粹与应用数学杂志》的编辑，通常简称该杂志为《克列尔杂志》，几乎是当时最受尊敬的数学杂志。克罗内克的主要成就集中在算数代数和分析学上，以及在椭圆方程上的贡献。克罗内克认为算术是建立在整数基础上的，分数是派生出来的，只充当符号使用。无理数和分数也都是错误和虚幻的观念。当林德曼证明了超越数存在时，克罗内克的评论是：你对圆周率的研究有什么用？无论如何无理数根本就不存在。
克罗内克研究数学的方法让他与其他一些同行发生了争执。甚至中伤了他曾经的好友魏尔斯特拉斯，在人生的最后两年，两人一直为数学的观点争执。克罗内克还与长期的朋友兼同事赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨发生过一场有趣的争执：只是因为施瓦茨的一句玩笑，克罗内克就再也没有同施瓦茨有过交流。基于克罗内克在数字和无穷上的固执观念，与康托尔正面交锋是避免不了的了，而且看上去争论只在数学上。俗话说敌人的敌人是朋友，但当康托尔与克罗内克发生争执的时候，施瓦茨和魏尔斯特拉斯并没有干涉其中。然而克罗内克在学术和出版界的声誉和地位，不是康托尔能比的。
康托尔生于年的圣彼得堡，年18岁时进入柏林大学，开始跟随魏尔斯特拉斯，库默尔和克罗内克学习数学，并积极参加柏林数学学会的活动。年在哥廷根大学学习一个学期后，年在柏林大学完成博士论文，并在获得博士学位后不久，成为哈勒大学教师，且终生都在哈勒大学。相比哥廷根和柏林大学这是一个二流大学，限制了与其他大师的交流。年成为一名助理教授，年成为一名正教授。哈勒大学的一位前辈爱德华·海涅有一个这样的问题：如果某个方程能用三角级数表示，那么该级数是否唯一？在海涅的建议下，康托尔研究了这个问题并对唯一性给出了证明。康托尔早期的大部分论文都发表在瑞典的《数学学报》上。这本杂志是哥斯塔·米塔格·列夫勒创办并编辑的。列夫勒是最早意识到康托尔是天才数学家的人之一，而此时克罗内克与康托尔的关系还是非常友好的。
集合论的诞生
康特尔继续研究，从三角级数唯一性到点集的性质，开始思考数集的问题，包括无理数。年的一篇论文中，他按照有理数的收敛序列详细说明了无理数，这正是克罗内克感觉不舒服的领域。
年戴德金定义：如果一个集合包含一个与它的元素一一对应的元素所组成的子集，那么这个集合是无穷的。康托尔从这里得到灵感，提出了可数的无穷：要么集合元素有限，要么能和自然数一一对应。“可数的无穷集”有相同的“势”，“势”这个概念，他采用了希伯来字母表的第1个字母阿列夫加下标0，读作阿列夫零。自然数集可以包含一个与它的元素一一对应(同势)的子集，因此整个集合与它的部分相等。这与欧几里得的“整体大于部分”的观念明显是相悖的。此时的康托尔认识到，需要一门新的数学诞生了。
康托尔继续他的工作，有不可数的无穷吗？就是说有规模不一样的无穷吗？年底，他写信给戴德金说：他已经成功地证明了，实数集不能与自然数集一一对应。实数集是不可数的无穷，康托尔给这种集合取名“连续统”。虽然康托尔的证明，证明了实数的次序比自然数高。同时康托尔明白自己的成果在当时来说大家会有很多的保留意见。希望论文发表在《克列尔杂志》上。克罗内尔正是该杂志的编辑，并且对康托尔研究方向已经有所不满，整个数学界都清楚克罗内克对无理数的认知。所以为避免引起克罗内克的注意，康托尔给他的论文取名《关于所有实代数数集合的性质》。从标题上来看，像是一篇关于代数数方面的论文。年，这篇论文蒙混过关发表在《克列尔杂志》上。当然，自此以后克罗内克会更加提防康托尔。
曲一线高考数学1集合常用逻辑用语函数与导数53题霸专题集训版五三适用年级：高京东好评率99%无理由退换京东配送官方店旗舰店￥26.8购买康托尔在年给戴德金的一封信中提出了一个问题：一个平面能和一条线一一对应吗？三年后康托尔给出了一个虽然有点儿笨拙，但非常正确的答案。平面和直线有相同的势。戴德金对康托尔的新发现表示祝贺的同时，提醒其成果的发表会很难。年7月12日，康托尔将这个问题的发现，递交《克列尔杂志》。尽管编辑的杂志答应发表，魏尔斯特拉斯也承诺论文面世后会宣传它。但很长一段时间之后杂志并没有采取任何行动促成论文的发表，康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼。在焦急的等待后，第2年论文得以发表。这让康托尔感到不安。
来自权威的封杀
克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念，不应该允许他发表这样的结果，克罗内克不是第1次这样做，曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。对克罗内克来说：无理数纯粹就不存在；整数是上帝创造的，其它数是人工的。无论如何，论文的发表使得康托尔获得了荣誉，尽管赞成他理论的人很少，这依然不妨碍他正成长为一名革命性的思想者，正在创立一门全新的数学。
在没能阻挠康托尔发表论文的情况下，克罗内克煞费苦心的抨击康托尔的成果。他指责康托尔的成果是个骗局，正在诱惑年轻人进入数学疯狂的危险世界。按照著名的数学史家莫里斯·克莱因的说法，克罗内克的抨击的的确确让数学家们怀疑康托尔的成果，康托尔没有被邀请去一个更有名望的大学任教，也可能跟这个有关。在申请柏林大学的教职被拒后，康托尔直接写信给柏林的教育部长，信中抱怨对他抨击，并向部长大人求助到柏林大学任职。
年克罗内克联系了列夫勒，声称要在《数学学报》上刊登一篇短文，以此说明，现代方程理论和集合论的成果都是没有意义的。康托尔在得知此事以后，认为克罗内克正在设法使他失去发表论文的出路。列夫勒是认可康托尔的，同时康托尔在这个领域日显重要，《数学学报》杂志是欢迎康托尔的。但此时的康托尔威胁了列夫勒，接受克罗内克的声明文章，他以后不会再将自己的论文投《数学学报》。但克罗内克一直没有投来什么文章。
崩溃的康托尔
年康托尔开始了新的研究，从年到年他发表6篇论文，推动了课题的发展。康托尔回到一个困扰他很久的一个问题：存在集合在规模上处于阿列夫零和c之间吗？他相信是不存在的，这正是他所谓的连续统假设。对此，康托尔投入了大量时间和精力进行了各种尝试，有人认为，康托尔对连续统假设的投入，和来自克罗内克的攻击是康托尔发疯的主要原因。年5月，41岁的康特尔第1次精神崩溃，住进了哈勒大学神经诊所。
年初康托尔寄了两封说明，他最新工作的信给《数学学报》以供发表。3月，列夫勒回信说：鉴于这两封信没有对任何有意义的结论作出证明；在康托尔能够解释这些结论前，发表这些东西会损害他的名誉。敏感的康托尔认为，他已经被这个唯一能支持他艰难探索的重要数学家抛弃了，这件事对康托尔的打击很大。康托尔要求《数学学报》把他的论文全都退回来，以后不再投稿了，这正好中了克罗内克的下怀。看不到自己在数学上的前途，康托尔开始把更多的时间投入到哲学和神学上。与此同时他爆发神经病的间歇期越来越短，在神经诊所呆的时间越来越长。而年他母亲离世，年他弟弟和小儿子的死，都给康托尔继续增加了更多的情感伤害。
年9月，德国数学学会第1届年会在康托尔所在的哈勒大学召开，他担任会议主席，并担任该机构的主席直到年。在第一届年会上，打算宣读一篇他5年多来，新数学研究上的第1篇论文，展示不可数集合存在的一个新证明。在论文中他引入一方法说明：给定任意集合，它所有的子集组成的集合都会比这个母集合本身高一次幂。然而把集合和子集的势进行对比，在之后给他带来了很多麻烦。
尽管和克罗内克之间有争端，他还是邀请克罗内克到开幕会上作演讲。康托尔可能希望在这个场合下，克罗内克在公众面前会说出他对集合论的真实想法，这会在数学界公开克罗内克的偏见。然而我们无从知道克罗尼克是否接受邀请，克罗内克的妻子在一次登山事故中受伤，克罗内克回应：祝福大会成功，而自己不能到场。会以成功举行之后，康托尔的论文发表在德国数学学会的年度报告上。在这一年，克罗内克去世。在此之后康托尔很快的积极参与筹划年将在苏黎世召开的国际数学家大会。或许是因为克罗内克已经离世，康托尔没有了顾忌。这次康托尔拿出了一份对他的无穷集合理论新的详细说明，在年和年，这份说明分两次刊登在数学年鉴上。
正当数学中所有的问题都开始采用集合来定义和解释的时候，康托尔却似乎没有先前那么自信了。他和其他人在研究中发现了某些悖论，最著名的就是罗素悖论，这使得他和他的追随者很痛苦。当然了，集合论最终成为了数学的基石，罗素悖论正是撼动了这个基石。要知道连续统假设本就是康托尔的心病，再加上罗素悖论，康托尔的心情可想而知。20世纪早期康托尔仍然在和一些同行交流，并积极捍卫自己的成果。成果获得了广泛的认同。但同时他的病也已经越来越严重，年1月6日，突发心脏病离世。